Моделирование распределения потенциала в МДП-структуре

ОГЛАВЛЕНИЕ

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛА В МДП-СТРУКТУРЕ

Математическая модель          - - - - - - - - - - - - - - - - - - -  3

ПРИМЕНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ К

РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ

Использование разностных схем для решения

уравнения Пуассона  и для граничных условий

раздела сред

Уравнение Пуассона                                   - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -    5

Граничные условия раздела сред             - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -    8

Общий алгоритм численого решения задачи

Метод установления                                   - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -    10

Метод переменных направлений            - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -    13

Построение разностных схем                    - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -   16

ПРИЛОЖЕНИЕ                               - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

ЛИТЕРАТУРА                                  - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Математическая модель распределения потенциала в МДП-структуре

Математическая модель

Пусть j(x,y) - функция, описывающая распределение потенциала в полупроводниковой структуре. В области оксла (СDEF) она удовлетворяет уравнению Лапласа:

d2j  +  d2j    = 0

 dx2      dy2

а в области полупроводника (прямоугольник  ABGH) - уравнению Пуассона:

d2j   +   d2j   = 0

 dx2        dy2

где   

 q               - элементарный  заряд  e;

enn                      -диэлектрическая проницаемость кремния;

Nd(x,y)       -распределение концентрации донорской примеси в подложке ;

Na(x,y)       -распределение концентрации акцепторной примеси в подложке; 

e0               -диэлектрическая постоянная

На контактах прибора задано условие Дирихле:

j| BC = Uu

j| DE = Uз

j| FG = Uc

j| AH = Un

На боковых сторонах полупроводниковой структуры требуется выполнение

однородного условия Неймана  вытекающее из симметричности структуры

относительно линий  лежащих на отрезках AB и GH:

dj   = 0              dj     = 0

dy    AB                 dy    GH

На  боковых сторонах окисла так же задается однородное условие Неймана

означающее  что в направлении оси OY отсутствует течение электрического

тока:

dj   = 0              dj     = 0

dy    DC                  dy    EF

На границе раздела структуры окисел- полупроводник ставится условие

сопряжения :

j| -0  = j| +0

eok  Ex |-0  -  enn  Ex |+0  = - Qss

где Qss -плотность поверхностного заряда;

      eok -диэлектрическая проницаемость окисла кремния;

      enn  -диэлектрическая проницаемость полупроводника .

Под символом “+0” и”-0” понимают  что значение функции берется бесконечно близко к границе CF со стороны либо полупроводника либо окисла кремния . Здесь первое условие означает непрерывность потенциала при переходе границы раздела сред а второе - указывает соотношение  связывающее величину разрыва вектора напряженности при  переходе из одной среды в другую с величиной поверхностного заряда на границе раздела.

ПРИМЕНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ К

РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ

          Использование разностных схем для решения уравнения Пуассона  и для граничных условий раздела сред

Уравнение Пуассона

  В  области {(x,y) :  0 < x < Lx ,  0 < y < Ly }  вводится сетка

W={(x,y) : 0 < i < M1 , 0 < j < M2}

x0 =0 , y0=0,     xM1 = Lx , yM2 = Ly

xi+1 = xi + hi+1        ,  yj+1 = yj+ rj+1

 i = 0,...,M1-1            j = 0,...,M2-1

Потоковые точки:

xi+ ½  = xi + hi+1 ,             i = 0,1,...,M1-1

2

yj+ ½  = yj + rj+1 ,              j = 0,1,...,M2-1

    2

Обозначим :

U(xi,yj) = Uij

I(xi+½,yj) = Ii+½,j

I(xi,yj+½) = Ii,j+½

Проинтегрируем уравнение Пуассона:

Dj = -   q    (Nd + Na)

e0en

          Q(x,y)

по области:

Vij = { (x,y) :  xi- ½  < x < xi+ ½   ,  yj- ½  < y < yj+ ½  }

xi+ ½   yj+ ½                xi+ ½       yj+ ½

ò   ò  Dj dxdy = ò    ò Q(x,y)dxdy

xi- ½    yj- ½                xi- ½       yj- ½

Отсюда:

yj+½                                                xi+½

ò(Ex(xi+½,y) - Ex(xi-½,y) )dx + ò(Ey(x,yj+½) - Ey(x,yj-½))dy=

yj-½                                                 xi-½  

xi+ ½    yj+ ½

= ò    ò Q(x,y)dxdy

xi-   ½    yj- ½

Здесь:

Ex(x,y) = -  dj(x,y)

                  dx                                           (*)

Ey(x,y) = -  dj(x,y)

                   dy

x у-компоненты вектора напряженности электрического поля Е.

Предположим при

yj-½  <  y < yj- ½                Ex(xi + ½,yj) = Ei+ ½ ,j = const

  yj-½  <  y < yj- ½                Ex(xi - ½ ,yj) = Ei- ½ ,j = const             (**)

 xi-½  < x < xi+ ½                Ey(xi, yj + ½) = Ei,j+ ½  = const

xi-½  < x < xi+ ½               Ey(xi, yj -½ ) = Ei,j - ½  = const

xi- ½  <  x <    xi+ ½

yj- ½   <  y  <    yj+ ½     - Q(x,y) = Qij = const

Тогда

(Ex)i+ ½ ,j - (Ex)i -½ ,j   r*j  +  (Ey)ij+ ½  - (Ey)ij- ½    h*i  =  Qijh*i  r*j

где h*i = hi - hi+1    ,     r*j = rj - rj+1  

                 2                             2

Теперь Еi+ ½ ,j выражаем через значение j(x,y) в узлах сетки:

xi+1

òEx(x,yj)dx = - ji+1,j - jij

xi

из (**) при y=yj:

(Ex)i+ ½ ,j = -  ji+1j - jij

                      hi+1

Анологично  :

(Ey)i,j+ ½= -  jij+1 - jij

                      rj+1

Отсюда:

1	2	3	4